微分几何笔记（一）——曲线

Dantepy posted @ 2012年2月25日 11:21 in 未分类 with tags 微分几何曲线 , 1902 阅读

Section 1

参数曲线

定义：一个光滑映射（无穷阶可导） $\phi : I \to R^3$ 称为参数化曲线。

注：两条不同的参数化曲线可以有相同的轨迹，这是因为你对I作一个同胚，就得到一个不同的映射 $\phi$ ,但是它们有相同的轨迹。

参数化正则曲线

定义：若对参数曲线 $\phi : I -> R^3$ 有 $\phi ^\$ ' $\neq$ 0,则称 $\phi ^\$ 为正则参数曲线。

注:使 $\phi ^\$ '=0 的点我们称之为奇异点。

弧长

因为参数化曲线的形式太任意了，所以我们引出弧长的定义：

定义：设 $\phi : I \to R^3$ 是正则参数曲线， t_0,t_1,t_1 > t_0 ，当参数从 t_0 到 t_1 时，曲线的弧长为 $S(t_1)=\[ \int_{t_0}^{t_1} |\frac{d \phi}{dt}\,|dt$ .

注意：弧长是不会因为参数化的形式而变化的，因为根据定义，当参数化形式变化的时候，只需要对S中的积分作一个变量代换即可。

用弧长来定义曲线

由弧长的定义可得 $\frac{dS}{dt} = |\frac{d \phi}{dt}| > 0$ ,所以，S和t存在可逆变换，于是，我们可以用弧长来做曲线的参数： $\tilde{\phi} (S) = \phi (t(S))$

注意：在给定定向之后，弧长参数在差一个常数的意义下唯一

我们可得： $|\frac{d \phi}{d S}| \equiv 1$ 反之若有参数化曲线 $\phi$ 使得 $|\frac{d \phi}{d t}| \equiv 1$ ，则t为弧长参数。证明是很容易的啦。

切向量、主法向量和从法向量

首先让我们考虑向量场的内积。

假设 $\phi(S)$ 是弧长参数化的曲线，则对 $\phi$ 有 $|\dot{\phi}(S) |\equiv 1$ （ $\dot{\phi}(S)$ 表示 ${\phi}(S)$ 的导数）.

由此可以推出： $\dot{\phi}(S) \cdot \dot{\phi}(S) \equiv 1$ ,对此式求导，可得 $\dot{\phi}(S) \cdot \ddot{\phi}(S) \equiv 0$ (*)

定义：称 $k(s) = |\ddot{\phi}(s)|$ 中 $k(s)$ 为 $\phi$ 在s处的曲率。

定义：记 $\vec{t}(s) = \dot{\phi}(s)$ ，称 $\vec{t}(s)$ 为 $\phi(s)$ 在s处的切向量

定义：记 $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{\phi}(s)}{k(s)}$ ，称 $\vec{n}(s)$ 为 $\phi(s)$ 在s处的主法向量。 由（*）可知， $\vec{n}(s)$ 与 $\vec{t}(s)$ 垂直（正交），而且这两个向量的模都是1.

定义：记 $\vec{b}(s)=\vec{t}(s) \times \vec{n}(s)$ ,称 $\vec{b}(s)$ 为 $\phi(s)$ 在s处的从法向量。这个向量与切向量和主法向量都垂直，而且模是1，所以 $\{ \vec{t}\ \vec{n}\ \vec{b} \}$ 构成 R^3 正交基底。

当然，这个基底还不足以完全描述曲线 $\phi$ 的行为，我们需要这三个向量和对这三个向量求导而得到的微分方程。为此我们对这三个向量求导。

由前面已经可以知道 $\frac{d \vec{t}}{ds} = k(s) \vec{n}(s)$ ,

我们先考虑 $\frac{d\vec{b}(s)}{ds}$

挠率

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{ds} \vec{b}(s) &=& \frac{d}{ds}(\vec{t}(s) \times \vec{n}(s)) \\ &=& (\frac{d}{ds} \vec{t}(s)) \times \vec{n}(s)+ \vec{t}(s) \times \frac{d\vec{n}}{ds} \\ &=& \vec{t}(s) \times \frac{d \vec{n}}{ds}\end{eqnarray*}$

由这条式子，我们可以看到 $\frac{d\vec{b}(s)}{ds}$ 与 $\vec{t}(s)$ 是垂直的（因为 $\frac{d\vec{b}(s)}{ds}$ 是 $\vec{t}(s)$ 与 $\frac{d\vec{n}}{ds}$ 叉乘的积），同时 $\frac{d\vec{b}(s)}{ds}$ 本身与 $\vec{b}$ 垂直，所以 $\frac{d\vec{b}(s)}{ds}$ 与 $\vec{n}$ 平行。从而，我们可以定义： $\frac{d\vec{b}}{ds} = \tau (s) \vec{n}(s)$ .由此得出：

定义：我们称 $\tau(s)$ 为曲线的挠率

在此基础上，我们继续讨论 $\frac{d\vec{n}}{ds}$

因为

$\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{n}}{ds} &=& \frac{d}{ds} (\vec{b} \times \vec{t}) \\ &=& \dot{\vec{b}} \times \vec{t} + \vec{b} \times \dot {\vec{t}} \end{eqnarray*}$

所以，我们可以最后化简得：

$\dot{\vec{n}} = -\tau \vec{b}-k\vec{t}$

综上， R^3 中的曲线可以如下的微分方程组来描述：

$\frac{d}{ds} (\vec{t},\vec{n},\vec{b}) &=& A(\vec{t},\vec{n},\vec{b})$ 其中 $A &=& \left( \begin{array}{ccc}0&k&0\\-k&0&-\tau\\ 0&\tau&0 \end{array} \right)$ .

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著书三年倦写字，如今翻书不识志