微分几何笔记（一）——曲线

2012年2月25日 11:21

Section 1

参数曲线

定义：一个光滑映射（无穷阶可导）\[ \phi : I \to R^3\]称为参数化曲线。

注：两条不同的参数化曲线可以有相同的轨迹，这是因为你对I作一个同胚，就得到一个不同的映射\phi ,但是它们有相同的轨迹。

 

参数化正则曲线

定义：若对参数曲线\phi : I -> R^3有\phi ^\'\neq0,则称\phi ^\为正则参数曲线。

注:使\phi ^\'=0 的点我们称之为奇异点。

 

弧长

因为参数化曲线的形式太任意了，所以我们引出弧长的定义：

定义：设\phi : I \to R^3是正则参数曲线，t_0,t_1,t_1 > t_0，当参数从t_0到t_1时，曲线的弧长为S(t_1)=\[ \int_{t_0}^{t_1} |\frac{d \phi}{dt}\,|dt.

注意：弧长是不会因为参数化的形式而变化的，因为根据定义，当参数化形式变化的时候，只需要对S中的积分作一个变量代换即可。

 

用弧长来定义曲线

由弧长的定义可得\[ \frac{dS}{dt} = |\frac{d \phi}{dt}| > 0\] ,所以，S和t存在可逆变换，于是，我们可以用弧长来做曲线的参数：\[\tilde{\phi} (S) = \phi (t(S)) \]

注意：在给定定向之后，弧长参数在差一个常数的意义下唯一

 

我们可得：\[ |\frac{d \phi}{d S}| \equiv 1\] 反之若有参数化曲线  \phi使得 \[ |\frac{d \phi}{d t}| \equiv 1\]，则t为弧长参数。证明是很容易的啦。

 


切向量、主法向量和从法向量

首先让我们考虑向量场的内积。

假设\[ \phi(S)\]是弧长参数化的曲线，则对\[ \phi\]有\[ |\dot{\phi}(S) |\equiv 1\]（\[ \dot{\phi}(S) \]表示\[ {\phi}(S) \]的导数）.

由此可以推出：\[ \dot{\phi}(S) \cdot \dot{\phi}(S) \equiv 1\],对此式求导，可得\[ \dot{\phi}(S) \cdot \ddot{\phi}(S) \equiv 0\] (*)

定义：称\[ k(s) = |\ddot{\phi}(s)|\]中\[ k(s) \]为\[ \phi\]在s处的曲率。

定义：记\[ \vec{t}(s) = \dot{\phi}(s) \]，称\[ \vec{t}(s) \]为\[ \phi(s) \]在s处的切向量

定义：记\[ \vec{n}(s) = \frac{\ddot{\phi}(s)}{k(s)} \]，称\[ \vec{n}(s) \]为\[ \phi(s) \]在s处的主法向量。  由（*）可知，\[ \vec{n}(s) \]与\[ \vec{t}(s) \]垂直（正交），而且这两个向量的模都是1.

定义：记\[\vec{b}(s)=\vec{t}(s) \times \vec{n}(s)\],称\[\vec{b}(s)\]为\[ \phi(s) \]在s处的从法向量。  这个向量与切向量和主法向量都垂直，而且模是1，所以\[\{ \vec{t}\ \vec{n}\ \vec{b} \}\]构成R^3正交基底。

当然，这个基底还不足以完全描述曲线\phi的行为，我们需要这三个向量和对这三个向量求导而得到的微分方程。为此我们对这三个向量求导。

由前面已经可以知道\[ \frac{d \vec{t}}{ds} = k(s) \vec{n}(s) \],

我们先考虑\[ \frac{d\vec{b}(s)}{ds} \]

挠率

\begin{eqnarray*} \frac{d}{ds} \vec{b}(s) &=& \frac{d}{ds}(\vec{t}(s) \times \vec{n}(s)) \\ &=& (\frac{d}{ds} \vec{t}(s)) \times \vec{n}(s)+ \vec{t}(s) \times \frac{d\vec{n}}{ds} \\ &=& \vec{t}(s) \times \frac{d \vec{n}}{ds}\end{eqnarray*}

由这条式子，我们可以看到\[ \frac{d\vec{b}(s)}{ds} \]与\[ \vec{t}(s) \]是垂直的（因为\[ \frac{d\vec{b}(s)}{ds} \]是\[ \vec{t}(s) \]与\[\frac{d\vec{n}}{ds} \]叉乘的积），同时\[ \frac{d\vec{b}(s)}{ds} \]本身与\[\vec{b} \]垂直，所以\[ \frac{d\vec{b}(s)}{ds} \]与\[\vec{n} \]平行。从而，我们可以定义：\[\frac{d\vec{b}}{ds} = \tau (s) \vec{n}(s) \].由此得出：

定义：我们称\[ \tau(s) \]为曲线的挠率

 

在此基础上，我们继续讨论\[ \frac{d\vec{n}}{ds}\]

因为

\begin{eqnarray*} \frac{d\vec{n}}{ds} &=& \frac{d}{ds} (\vec{b} \times \vec{t}) \\ &=& \dot{\vec{b}} \times \vec{t} + \vec{b} \times \dot {\vec{t}} \end{eqnarray*}

所以，我们可以最后化简得：

\[ \dot{\vec{n}} = -\tau \vec{b}-k\vec{t}\]

 

综上，R^3中的曲线可以如下的微分方程组来描述：

\[ \frac{d}{ds} (\vec{t},\vec{n},\vec{b}) &=& A(\vec{t},\vec{n},\vec{b})\] 其中  \[ A &=& \left( \begin{array}{ccc}0&k&0\\-k&0&-\tau\\ 0&\tau&0 \end{array} \right)\].

 

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数学笔记(1)——映射压缩原理

2012年2月15日 16:08

1、定义

     压缩映射：设R为完备度量空间，A为R到其本身的映射，如果存在数\alpha< 1使得对于R中任意两点x,y满足不等式：

d(Ax,Ay) \leq \alpha d(x,y)

      则称A为压缩映射或者压缩。

     不动点：如果Ax=x，则x为映射A的不动点。

2、定理

     在完备度量空间定义的任一压缩映射有且仅有一个不动点。

 

3、关于定理的证明及其思考

      在柯尔莫戈洛夫的《函数论与泛函分析初步》中，这个定理的证明思路如下：1）存在性，在一个完备度量空间中，任意一点x_0，将压缩映射A作用在x_0上，得到一个点列\{ A^n x_0 \}，这个点列是基本列，而在完备度量空间中，它必然收敛，然后证明其极限点即为A的不动点即可；2）唯一性，利用压缩映射定义中的不等式。

      问题：为什么是\{ A^n x_0 \}？

      一个直观的解答：我们可以先考虑一个有界的度量空间R，在压缩映射A的作用下，R的“体积”是不断变小的，经过无穷次压缩之后，它可以被“压缩"成一个点（这一点可以由其完备性保证）。

      以上想法的缺陷：1、无界的完备度量空间的情况如何考虑？2、当我写下这篇文章的时候我还没有想到。

      这种想法的应用：

       在柯尔莫戈洛夫的书中有一道习题：举例说明对一切x不等于y满足d(Ax,Ay)小于d(x,y)的映射A，可能连一个不动点都没有。我们找一个映射，使之不能把度量空间的体积变小即可。

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